Qui doit combien à qui : le calcul, expliqué
Cinq personnes, dix-sept dépenses, quatre payeurs différents. La question est toujours la même, et elle n'a qu'une seule bonne réponse : combien chacun doit, et à qui il le verse.
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Vous rentrez d'un week-end à cinq. Quelqu'un a payé la maison, quelqu'un d'autre les courses, un troisième l'essence et les péages, et deux personnes n'ont rien avancé du tout. Sur le groupe de discussion, la conversation commence par « bon, alors » et se termine rarement.
Le calcul, lui, est simple. Ce qui est difficile, c'est de le faire à voix haute, dans le bon ordre, sans se tromper de question.
La seule formule qui compte
Pour chaque personne :
Solde = ce qu'elle a avancé − ce qui est à sa charge + ce qu'elle a remboursé aux autres − ce qu'elle a reçu
Un solde positif veut dire qu'on lui doit de l'argent. Un solde négatif, qu'elle en doit.
Et une propriété qui vaut vérification à chaque fois :
La somme de tous les soldes d'un groupe vaut exactement zéro.
Ce n'est pas une jolie phrase, c'est un test. Tout euro avancé par quelqu'un est à la charge de quelqu'un, y compris de celui qui l'a avancé. Si vos soldes ne totalisent pas zéro, vous avez oublié une dépense, oublié un participant, ou compté un remboursement du mauvais côté. Faites la somme avant de discuter du reste.
L'erreur qui fausse tout : confondre « avancé » et « dû »
C'est de loin la plus fréquente, et elle a l'air raisonnable.
Beaucoup de gens raisonnent par dépense : « Alice a payé 300 €, on lui doit chacun 100 € ». Puis pour les courses : « Bruno a payé 90 €, on lui doit chacun 30 € ». Résultat : Chloé doit 100 € à Alice et 30 € à Bruno, Alice doit 30 € à Bruno, Bruno doit 100 € à Alice. Quatre virements, dont deux qui se croisent.
Le raisonnement par solde donne le même résultat économique avec deux virements. La différence n'est pas cosmétique : chaque virement est une occasion d'oublier, de se tromper de montant, ou de faire attendre quelqu'un.
Le plus court chemin pour tout solder
Une fois les soldes établis, il reste à décider qui paie qui. La règle est celle-ci : on classe les débiteurs et les créanciers, et on éteint la plus grosse dette avec la plus grosse créance, jusqu'à ce qu'il ne reste rien.
Sur l'exemple ci-dessus : Chloé doit 130, Bruno doit 40, Alice attend 170. Chloé verse 130 € à Alice, Bruno verse 40 € à Alice. Deux virements, et tout le monde est à zéro.
La borne à retenir : pour n personnes, il ne faut jamais plus de n − 1 virements. À cinq, quatre virements suffisent toujours, et souvent deux ou trois. Si votre décompte en propose davantage, c'est qu'il raisonne encore dépense par dépense.
Le centime qui ne se divise pas
Trois personnes, une dépense de 10 €. Chacun doit 3,333… €. En centimes, on ne peut écrire que 3,33 ou 3,34, et 3,33 × 3 = 9,99. Il manque un centime.
Le laisser tomber est le pire choix : votre total ne vaut plus le montant de la dépense, et l'invariant à zéro se casse. Sur cent dépenses, l'écart devient visible et le décompte perd toute crédibilité.
La bonne méthode s'appelle le plus fort reste : on donne à chacun sa part arrondie vers le bas, puis on distribue les centimes restants à ceux dont la partie décimale était la plus grande. Sur 1 € à trois : 0,34, 0,33, 0,33. La somme fait exactement 1 €.
Deux exigences valent la peine d'être posées :
- la somme des parts égale toujours le montant de la dépense, au centime ;
- le départage est déterministe : deux calculs sur les mêmes données donnent le même résultat. Un centime qui se promène d'un affichage à l'autre détruit la confiance plus sûrement qu'une erreur franche.
Les quatre façons de partager une dépense
Toutes les dépenses ne se partagent pas en parts égales, et un décompte qui ne sait faire que ça oblige à tricher.
| Mode | Quand | Exemple |
|---|---|---|
| Parts égales | Le cas courant | Les courses, le plein d'essence |
| Par parts | Quelqu'un compte double | Un couple dans un groupe d'amis, une chambre pour deux |
| En pourcentages | Une clé fixe, décidée d'avance | 40 / 60 au prorata des revenus |
| Montants exacts | La note détaille qui a pris quoi | Le restaurant, une facture ligne à ligne |
Les dépenses qui ne concernent pas tout le monde
C'est le cas le plus courant après le premier soir, et celui qui casse le plus de tableurs.
Quatre personnes sur six vont au restaurant. La note de 92 € ne se partage pas en six, elle se partage en quatre. Le solde de chacun doit en tenir compte immédiatement, sans obliger à ouvrir un second décompte pour « le sous-groupe du mardi ».
C'est la raison pour laquelle un décompte utile raisonne par participants de la dépense et non par membres du groupe. Le groupe dit qui peut voir et saisir ; la dépense dit qui paie.
Ce que fait Kotisso, concrètement
Kotisso applique exactement ce qui précède : chaque dépense se répartit selon l'un des quatre modes, les soldes se recalculent en direct chez tout le monde, l'invariant à zéro est vérifié, et le plan de remboursement propose le plus court chemin.
Deux choses sortent de l'ordinaire et méritent d'être signalées :
- le taux de change se fige à la saisie. Une dépense payée en bahts est convertie une fois, avec le cours que vous saisissez, et ne bouge plus jamais. Aller chercher un cours du jour ferait varier les soldes de tout le monde chaque matin, trois mois après le voyage ;
- le décompte s'exporte, en tableur ou en PDF. Le fichier porte une colonne par personne, chaque ligne y totalise zéro, et la colonne de chacun totalise son solde final. L'invariant devient vérifiable dans Excel, ce qui met fin à la discussion plus vite que n'importe quelle explication.
Tout le décompte est gratuit : les quatre modes de répartition, l'export, les justificatifs et le plan de remboursement.
Les questions qui reviennent
Faut-il rembourser après chaque dépense ? Non, et c'est même contre-productif : vous multipliez les virements pour un résultat identique. On laisse courir les soldes et on solde à la fin, ou une fois par mois pour une colocation.
Que faire si quelqu'un a payé pour une personne extérieure au groupe ? Ne l'inventez pas en membre fantôme. Notez la dépense au montant réellement partagé, et traitez la part de la personne extérieure comme un remboursement quand elle arrive, ou comme une dépense à part.
Peut-on ajouter quelqu'un en cours de route ? Oui, et son solde démarre à zéro : les dépenses antérieures ne le concernent pas, sauf à les modifier explicitement pour l'y inclure. C'est le comportement correct, et c'est aussi celui qui surprend le plus.
Et si un solde n'est jamais réglé ? Il reste au décompte, visible par tout le monde, jusqu'à ce qu'un remboursement soit noté. C'est aussi pour ça qu'on ne peut pas quitter un groupe en devant de l'argent : de l'argent disparaîtrait du compte des autres.