谁欠谁多少钱：分摊计算全解析
五个人，十七笔开支，四个不同的付款人。问题永远只有一个，答案也只有一个：每个人该付多少，付给谁。
阅读约 7 分钟
您刚结束一次五人周末小聚回到家。有人付了房费，有人付了采购的食材，还有一个人付了汽油和过路费，另外两人什么都没垫付。群聊里的对话总是以"那么，我们来算算"开头，却很少有个清楚的结尾。
计算本身并不难，难的是把它说清楚、按对的顺序算、还不搞错问题本身。
唯一重要的公式
对每个人来说：
余额 = 本人垫付的金额 − 本人应承担的金额 + 本人还给他人的金额 − 本人收到的金额
余额为正，说明别人欠他钱。余额为负，说明他欠别人钱。
还有一条每次都值得验证的性质：
一个群体所有人的余额加起来，必然等于零。
这不是一句漂亮话，而是一个检验标准。任何人垫付的每一欧元，都由某些人（包括垫付者本人）共同承担。如果您算出的余额加起来不是零，说明您漏记了一笔开支、漏了一个参与者，或者把某笔还款算错了方向。先验证总和是否为零，再讨论别的。
最容易搞错的地方：把"垫付的钱"和"该还的钱"混为一谈
这是目前为止最常见的错误，而且乍看还挺有道理。
很多人是按每笔开支单独计算的："Alice 付了 300 欧元，我们每人还她 100 欧元。"接着算食材费："Bruno 付了 90 欧元，我们每人还他 30 欧元。"结果是：Chloé 要给 Alice 100 欧元、给 Bruno 30 欧元，Alice 要给 Bruno 30 欧元，Bruno 要给 Alice 100 欧元。四笔转账，其中两笔还互相抵消。
按余额计算，结果在经济上完全相同，却只需要两笔转账。这个差别不是形式上的：每一笔转账都是一次可能忘记、算错金额，或让人白等的机会。
结清所有欠款的最短路径
余额算出来之后，剩下的问题是谁付给谁。规则是这样的：把欠款方和收款方分别列出来，用最大的欠款去抵消最大的应收款，直到全部清零。
以上面的例子为例：Chloé 欠 130，Bruno 欠 40，Alice 应收 170。Chloé 付给 Alice 130 欧元，Bruno 付给 Alice 40 欧元。两笔转账，人人清零。
记住这条上限：n 个人，最多只需要 n − 1 笔转账。五个人的情况下，四笔转账必然够用，通常两三笔就能解决。如果您算出的转账数超过这个数字，说明还是在按每笔开支单独计算。
无法整除的那一分钱
三个人，一笔 10 欧元的开支。每人应付 3.333…欧元。精确到分，只能写成 3.33 或 3.34，而 3.33 × 3 = 9.99，还差一分钱。
直接舍去是最糟糕的做法：这样一来总额就对不上开支金额，"总和为零"这条铁律也就被打破了。开支笔数一多，误差会越来越明显，整个账目也就失去了可信度。
正确的方法叫最大余数法：先把每人应付的金额向下取整，再把剩下的分，依次分给小数部分最大的那几个人。三人分摊 1 欧元：0.34、0.33、0.33，加起来正好是 1 欧元。
有两点值得特别强调：
- 各人份额加总永远等于开支的实际金额，精确到分；
- 分配方式是确定性的：同样的数据算两次，结果必须一样。一分钱在不同页面之间飘忽不定，比明显的计算错误更能摧毁信任。
分摊开支的四种方式
不是所有开支都按人头平分，一个只会平分的记账工具，会逼着您去凑数。
| 方式 | 适用场景 | 例子 |
|---|---|---|
| 平均分摊 | 最常见的情况 | 采购食材、加满一箱油 |
| 按份数分摊 | 有人算两份 | 朋友群里的一对情侣、两人合住一间房 |
| 按百分比分摊 | 事先定好固定比例 | 按收入比例 40 / 60 分摊 |
| 按实际金额分摊 | 账单上写明了谁点了什么 | 餐厅账单、逐项列明的发票 |
不是所有人都摊上的开支
这是聚会第一晚之后最常见的情况，也是最容易搞乱表格的情况。
六个人里有四个人去了餐厅。这笔 92 欧元的账单不该由六个人分，而应该由这四个人分。每个人的余额必须立刻反映这一点，而不必为"周二那个小分队"另开一张表。
这正是为什么一个好用的记账工具要按该笔开支的参与者来计算，而不是按群组的全体成员来计算。群组决定谁能查看和录入，而具体某笔开支决定谁来付钱。
Kotisso 具体是怎么做的
Kotisso 正是按照上述方法运作的：每笔开支都可以按四种方式之一分摊，所有人的余额实时同步更新，"总和为零"的原则始终受到校验，还款方案则给出最短路径。
有两点比较特别，值得单独说明：
- 汇率在录入时就已锁定。 一笔用泰铢支付的开支，会按您录入时的汇率一次性换算，此后永远不再变动。如果每次都去抓取当天的实时汇率，会导致旅行结束三个月后，每天早上所有人的余额还在变来变去；
- 账目可以导出，支持表格或 PDF 格式。文件中每个人占一列，每一行加总为零，每列加总即为该人的最终余额。这样一来，"总和为零"这条铁律在 Excel 里就能直接验证，比任何解释都更快平息争论。
整套记账功能完全免费：四种分摊方式、导出、凭证和还款方案，都不收费。
常见问题
是不是每笔开支之后都要立刻还款？ 不需要，这样做反而适得其反：转账次数成倍增加，结果却完全一样。让余额先累积，到最后统一结清即可，合租的情况可以每月结一次。
如果有人替群组以外的人垫付了钱，该怎么办？ 不要把这个人虚构成一个"幽灵成员"。按实际分摊的金额记录这笔开支，等对方还钱时把那部分记作一笔还款，或者单独记一笔开支处理。
能不能中途加人？ 可以，新加入的人余额从零开始：之前的开支跟他无关，除非您明确修改这些开支把他也算进去。这才是正确的做法，也是最让人意外的一点。
如果某笔余额一直没结清怎么办？ 它会一直留在账目里，所有人都能看到，直到有人记录一笔还款为止。这也是为什么不能在欠钱的状态下退出群组：这样一来，其他人账上的钱就凭空消失了。