Wer schuldet wem wie viel: die Berechnung erklärt
Fünf Personen, siebzehn Ausgaben, vier verschiedene Zahler. Die Frage bleibt immer dieselbe, und es gibt nur eine richtige Antwort: Wer schuldet wie viel, und an wen zahlt er es?
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Ihr kommt von einem Wochenende zu fünft zurück. Jemand hat das Haus bezahlt, jemand anders den Einkauf, ein Dritter das Benzin und die Maut, und zwei haben gar nichts ausgelegt. In der Gruppenchat beginnt das Gespräch mit „okay, also" und endet selten.
Die Rechnung selbst ist einfach. Schwierig ist, sie laut auszusprechen, in der richtigen Reihenfolge, ohne sich bei der Frage zu vertun.
Die einzige Formel, die zählt
Für jede Person gilt:
Saldo = was sie ausgelegt hat − was auf sie entfällt + was sie anderen zurückgezahlt hat − was sie erhalten hat
Ein positiver Saldo heißt: Man schuldet ihr Geld. Ein negativer Saldo heißt: Sie schuldet Geld.
Und eine Eigenschaft, die sich jedes Mal nachrechnen lässt:
Die Summe aller Salden einer Gruppe ergibt exakt null.
Das ist kein schöner Satz, das ist ein Test. Jeder Euro, den jemand auslegt, entfällt auf jemanden, auch auf den, der ihn ausgelegt hat. Wenn eure Salden nicht auf null summieren, habt ihr eine Ausgabe vergessen, eine Person vergessen, oder eine Rückzahlung auf der falschen Seite verbucht. Rechnet die Summe nach, bevor ihr über den Rest diskutiert.
Der Fehler, der alles verfälscht: „ausgelegt" mit „geschuldet" verwechseln
Das ist bei weitem der häufigste Fehler, und er wirkt vernünftig.
Viele denken pro Ausgabe: „Alice hat 300 € gezahlt, jeder schuldet ihr 100 €." Dann beim Einkauf: „Bruno hat 90 € gezahlt, jeder schuldet ihm 30 €." Ergebnis: Chloé schuldet Alice 100 € und Bruno 30 €, Alice schuldet Bruno 30 €, Bruno schuldet Alice 100 €. Vier Überweisungen, von denen sich zwei gegenseitig aufheben.
Die Rechnung über den Saldo ergibt dasselbe wirtschaftliche Ergebnis mit zwei Überweisungen. Der Unterschied ist nicht kosmetisch: Jede Überweisung ist eine Gelegenheit, etwas zu vergessen, einen Betrag zu verwechseln oder jemanden warten zu lassen.
Der kürzeste Weg, alles auszugleichen
Sobald die Salden feststehen, bleibt nur noch zu entscheiden, wer wen bezahlt. Die Regel lautet: Schuldner und Gläubiger werden sortiert, und die größte Schuld wird mit der größten Forderung verrechnet, bis nichts mehr übrig bleibt.
Im Beispiel oben: Chloé schuldet 130, Bruno schuldet 40, Alice wartet auf 170. Chloé überweist Alice 130 €, Bruno überweist Alice 40 €. Zwei Überweisungen, und alle stehen bei null.
Die Faustregel: Bei n Personen braucht es nie mehr als n − 1 Überweisungen. Bei fünf Personen reichen immer vier, oft zwei oder drei. Wenn eure Abrechnung mehr vorschlägt, rechnet sie noch Ausgabe für Ausgabe.
Der Cent, der sich nicht teilen lässt
Drei Personen, eine Ausgabe von 10 €. Jeder schuldet 3,333… €. In Cent-Beträgen lässt sich nur 3,33 oder 3,34 schreiben, und 3,33 × 3 = 9,99. Ein Cent fehlt.
Ihn einfach fallen zu lassen, ist die schlechteste Wahl: Eure Summe entspricht dann nicht mehr dem Ausgabenbetrag, und die Null-Invariante bricht. Bei hundert Ausgaben wird die Abweichung sichtbar, und die Abrechnung verliert ihre Glaubwürdigkeit.
Die richtige Methode heißt größter Rest: Jeder bekommt seinen abgerundeten Anteil, und die restlichen Cent werden an diejenigen mit dem größten Nachkommaanteil verteilt. Bei 1 € auf drei Personen: 0,34, 0,33, 0,33. Die Summe ergibt exakt 1 €.
Zwei Anforderungen lohnt es sich festzuhalten:
- Die Summe der Anteile entspricht immer dem Ausgabenbetrag, auf den Cent genau;
- Die Verteilung ist deterministisch: Zwei Berechnungen mit denselben Daten liefern dasselbe Ergebnis. Ein Cent, der von einer Anzeige zur nächsten wandert, zerstört das Vertrauen sicherer als ein klarer Fehler.
Die vier Arten, eine Ausgabe zu teilen
Nicht jede Ausgabe wird zu gleichen Teilen geteilt, und eine Abrechnung, die nur das kann, zwingt zum Tricksen.
| Modus | Wann | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleiche Anteile | Der Normalfall | Der Einkauf, das Tanken |
| Nach Anteilen | Jemand zählt doppelt | Ein Paar in einer Freundesgruppe, ein Zimmer für zwei |
| In Prozent | Ein fester, vorher festgelegter Schlüssel | 40 / 60 im Verhältnis zum Einkommen |
| Genaue Beträge | Die Rechnung listet auf, wer was hatte | Das Restaurant, eine Rechnung Position für Position |
Ausgaben, die nicht alle betreffen
Das ist der häufigste Fall nach dem ersten Abend, und der, der die meisten Tabellen zum Kippen bringt.
Vier von sechs Personen gehen essen. Die Rechnung über 92 € wird nicht durch sechs geteilt, sondern durch vier. Der Saldo jeder Person muss das sofort berücksichtigen, ohne dass dafür eine zweite Abrechnung für die „Dienstagsgruppe" nötig wird.
Deshalb rechnet eine brauchbare Abrechnung über die Teilnehmer der Ausgabe und nicht über die Mitglieder der Gruppe. Die Gruppe legt fest, wer sehen und eintragen darf; die Ausgabe legt fest, wer zahlt.
Was Kotisso konkret macht
Kotisso setzt genau das oben Beschriebene um: Jede Ausgabe wird nach einem der vier Modi aufgeteilt, die Salden werden bei allen live neu berechnet, die Null-Invariante wird geprüft, und der Rückzahlungsplan schlägt den kürzesten Weg vor.
Zwei Dinge fallen aus dem Rahmen und sind erwähnenswert:
- Der Wechselkurs wird bei der Eingabe eingefroren. Eine in Baht bezahlte Ausgabe wird einmal umgerechnet, mit dem von euch eingegebenen Kurs, und ändert sich danach nie mehr. Würde man täglich den aktuellen Kurs abrufen, würden sich die Salden aller Beteiligten jeden Morgen ändern, noch drei Monate nach der Reise;
- Die Abrechnung lässt sich exportieren, als Tabelle oder PDF. Die Datei hat eine Spalte pro Person, jede Zeile summiert sich auf null, und die Spalte jeder Person summiert sich auf ihren Endsaldo. Die Invariante wird in Excel nachprüfbar, was die Diskussion schneller beendet als jede Erklärung.
Die gesamte Abrechnung ist kostenlos: alle vier Aufteilungsmodi, der Export, die Belege und der Rückzahlungsplan.
Häufige Fragen
Muss man nach jeder Ausgabe zurückzahlen? Nein, das wäre sogar kontraproduktiv: Ihr vervielfacht die Überweisungen für dasselbe Ergebnis. Man lässt die Salden laufen und gleicht am Ende aus, oder einmal im Monat bei einer WG.
Was, wenn jemand für eine gruppenfremde Person bezahlt hat? Erfindet sie nicht als Phantom-Mitglied. Trag die Ausgabe mit dem tatsächlich geteilten Betrag ein und behandle den Anteil der externen Person als Rückzahlung, sobald sie eintrifft, oder als separate Ausgabe.
Kann man später jemanden hinzufügen? Ja, und ihr Saldo startet bei null: Frühere Ausgaben betreffen sie nicht, außer man ändert sie ausdrücklich, um sie einzuschließen. Das ist das korrekte Verhalten, und es überrascht auch am meisten.
Und wenn ein Saldo nie beglichen wird? Er bleibt in der Abrechnung stehen, für alle sichtbar, bis eine Rückzahlung eingetragen wird. Auch deshalb kann man eine Gruppe nicht verlassen, solange man Geld schuldet: Geld würde sonst vom Konto der anderen verschwinden.